非标准微积分为何必然兴起？

现在，我们大家对所谓的“非标准微积分”有了一点儿“感觉”，接触到某些基本方法与记号。但是，还很可能“蒙蒙眬眬”不够明白。这不要紧，时间还早呢！咱们慢慢来“分说”。

在上世纪1973年，直觉主义大数学家Arenod Heyting曾经说过：非标准分析是重要数学研究的标准模型（A standard model of important mathematical research"(原文系德文）。这说明“非标准分析“在现代数学研究中应该占有一席之地，不是“玄学”胡诌一气。但是，为什么叫做”非标准“数学（或方法）？”非标准“岂不是自己贬低了自己？这是有

历史原因的。

大约在1934年，正当数学”模型论“（Model Theory）方法大兴其道的历期，”非标准算术“（Skolem）出现了。我们容易看出，在这里，”非标准“只是一个很专业的学术”形容词“，有点”标新立异“，而不是贬低自己。所以，在1961年A. Robinson把自己的研究工作也叫做”非标准分析“（Non Standard Analysis）是非常自然的，不是故意贬低自己。可以公平地说，”非标准“数学方法的研究成果是20世纪数学的重大进展，也许是”最大进展“，而不是”江湖把戏“。

我们问：非标准微积分能不能用于数学教学？许多实际经验表明，这是完全可行的，只是没有充足的合格师资队伍。在这方面，由世界著名的模型论专家J. Keisler精心编写的”初等微积分“（Elemenntary Calculus”)就是一个证明，值得我们一阅。

记得，在上世纪70年代，国内有人（我算一个）大力倡导、推动非标准微积分这门学科，但是，最后以彻底失败而告终。原因是，切入时间太早，外界环境还不够成熟。现在不同了，在国外非标准微积分的教学已经大面积”兴起“，我们在后面跟着”爬行“总算可以吧？路，总是要有人走的。现在，我人已老了，但是，欠的账（非标准分析）总是要还的。

我准备找几个人把J. Keisler的”初等微积分“(电子版)翻译出来，留给后人。今后，我会经常”罗嗦“非标准微积分，希望得到大家的理解。......言归正传。

在超实数系*R里面，围绕一个标准实数r，在其周边存在许许多多的非标准实数x与其无限接近（即与其相差一个”无穷小“），形成一个”单子“（”Monad“），记为Monad(r)。通常看起来，单子就像是一个几何学中的”点“，很小很小，但是不可分。特别是，单子（0）吸引人们无数的遐想。

引入”单子“概念，超实数系*R究竟是个什么样子呢？且听下回分解。青春就应该这样绽放 游戏测试：三国时期谁是你最好的兄弟！！ 你不得不信的星座秘密。